艺术生高考数学专题讲义：考点25,平面向量的基本运算及其线性运算

2021-04-23 00:25:24 浏览次数：

考点二十五平面向量的基本概念及其线性运算 知识梳理1向量的有关概念1 向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB的大小叫做向量的长度或模，记作|AB|.2 零向量长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的3 单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量4 平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向 量都可以移到同一直线上规定0 与任一向量平行5 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量6 相反向量与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量规定零向量的相反向量仍是 零向量2.向量的加法1 定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法2 法则三角形法则；平行四边形法则3 运算律abba；abcabc 3.向量的减法1 定义求两个向量差的运算，叫做向量的减法 2 法则三角形法则3 运算律abab4.向量的数乘1 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下 |a ||||a； 当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0.2 运算律设 、R，则 aa； aaa； abab5.向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线注意两向量相加、相减结果仍是一个向量；数乘一个向量，所得结果也是一个向量向量加法的三角形法则的要点是“首尾相连，指向终点”，即第二个向量的起点和第一个向量的终点 重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要点是“起点重 合，指向被减”，即作向量减法时，将两个向量的起点重合，然后连接两向量的终点，差向量由减向 量的终点指向被减向量的终点平行四边形法则的要点是“起点重合”，即两向量的起点相同典例剖析题型一 平面向量的基本概念例 1 给出下列命题 1 向量AB的长度与向量BA的长度相等；2 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；3 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；4 两个有公共终点的向量一定是共线向量其中不正确命题的个数为____________.答案 1 解析 对于，在ABC 中，BA与CA有公共终点 A，但不是共线向量，故错正确.变式训练 下列命题中，正确的是________填序号1 有向线段就是向量，向量就是有向线段；2 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 3 向量AB与向量CD共线，则 A、B、C、D 四点共线；4 如果 ab，bc，那么 ac；5 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小答案 解析 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； 不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相 反；3 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；4 不正确，如果 b0，则 a 与 c 不一定平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小解题要点 注意向量平行与直线平行的区别与联系，两向量平行，指两向量对应的有向线段所在直线平行或重合，这点与直线平行有区别另外，平行向量又称共线向量，它们均与起点无关.题型二 平面向量的线性表示例 2 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点靠近 B，那么EF ____________.答案1 2 AB AD2 3 1 解析 在CEF 中，有EFECCF，因为点 E 为 DC 的中点，所以EC DC.因为点 F 为 BC 的一2 2 个三等分点，所以CF CB.3 1 2 1 2 1 2 所以EF DC CB AB DA AB AD.2 3 2 3 2 3 变式训练 如图，在正六边形 ABCDEF 中，BACDEF等于 答案 CF 解析 如图，在正六边形 ABCDEF 中，CDAF，BFCE，BACDEFBAAFEFBFEFCEEFCF.解题要点 在表示向量时，注意基向量的选取，解题时要善于运用多边形法则来进行求解 题型三 向量的共线例 3 设 a，b 是两个不共线的非零向量，若 8akb 与 ka2b 共线，则实数 k__________.答案 4解析 因为 8akb 与 ka2b 共线，所以存在实数 ，使 8akbka2b，即8kak2b8k0，0.又 a，b 是两个不共线的非零向量，故k20，解得 k4.变式训练 设 e ，e 是两个不共线向量，已知AB2e 8e ，1 2 1 2 CBe 3e ，CD2e e .1 2 1 21求证A，B，D 三点共线；2若BF3e ke ，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值1 2 解析 1证明由已知得BDCDCB2e e e 3e e 4e1 2 1 2 1 2 AB2e 8e ，AB2BD，1 2又AB 与 BD 有公共点 B，A，B，D 三点共线 2由1可知BDe 4e ，且BF3e ke ，1 2 1 2 B，D，F 三点共线，得BFBD，即 3e ke e 4e ，1 2 1 23，得k4，解得 k12，k12.解题要点 1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 2对于三点共线有以下结论对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，若 P，A，B 共线，且OP xOAyOBx，yR，则 xy1.1 3.中点的向量表示若 A 是 BC 外一点，D 是 BC 中点，则AD ACAB2当堂练习12015 四川文设向量 a2,4与向量 bx,6共线，则实数 x 等于____________.答案 3解析 a2,4，bx,6，ab，4x260，x3.2下列等式0aa；aa；aa0；a0a；abab其中 正确的个数是____________.答案 4 个解析 aa0，故错，其余等式均正确.3.若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是____________.答案 EFOFOE 解析 EFEOOFOFOE.4如图，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b 表示AD，则AD____________.答案1 3a b4 4 解析 CBABACab，又BD3DC，1 1CD CB ab，4 4 1 1 3ADACCDb ab a b.4 4 45设 D，E，F 分别 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC____________.答案 AD 1 1 1 解析 EBEFFBEF AB，FCFEECFE AC，EBFC ABACAD.2 2 2课后作业一、填空题1下列说法正确的个数是____________.1 温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；2 零向量没有方向；3 向量的模一定是正数；4 非零向量的单位向量是唯一的答案 0解析 错误，只有速度和位移是向量；错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；错误，|0|0；显然错误2给出下列命题两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 2 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小3 a0 为实数，则 必为零其中错误的命题的个数为____________.答案 2解析 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点2 正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较 大小3 错误，当 a0 时，不论 为何值，a0.3已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且OAOBCO0，ABC 的内角 A 等于_________.答案 30 解析 由OAOBCO0 得OAOBOC，由 O 为ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意 义知四边形 OACB 为菱形，且CAO60，故 A30.|BC|4已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若OA2OC3OB，则 的值为____________.|AB|答案12 |BC| 1 解析 OA2OC3OB，2OC2OBOBOA，即 2BCAB，2|BC||AB|，.2|AB|5对于非零向量 a 与 b，“a2b0”是“ab”的___________条件答案 充分不必要解析 “a2b0”“ab”，但“ab” / “a2b0”，所以“a2b0”是“ab”的 充分不必要条件6已知 ABCD 为平行四边形，若向量ABa，ACb，则向量BD为____________.答案 b2a7已知向量 a，b 不共线，ckabkR，dab，如果 cd，那么_______.填序号k1 且 c 与 d 同向 k1 且 c 与 d 同向k1 且 c 与 d 反向 k1 且 c 与 d 反向答案 解析 由题意可设 cd，即 kababka1b.k0，a,b 不共线，10.k1.c 与 d 反向.8设 M 是ABC 所在平面内的一点，BCBA2BM，则MCMA____________.答案 MCMA022 解析 BCBA2BM，MCMBMAMB2BM，即MAMC2BM2MB0.92015 新课标 II 理设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 ____________.答案12解析 向量 a，b 不平行，a2b0，又向量 ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a，ba2b成立，即 aba2b，则得12，1 解得 .10在 ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC，M 为 BC 的中点，则MN________用 a，b 表示 1 1答案 a b4 4 1 1 1 1 1 1解析 MNMCCN AD AC b ab a b.2 4 2 4 4 4 11在四边形 ABCD 中，AB2DC，|AD||BC|，则四边形 ABCD 的形状是__________答案 等腰梯形 解析 AB2DC，ABDC，且 AB2DC，又|AD||BC|，ADBC，四边形 ABCD 为等腰 梯形二、解答题12已知两个非零向量 a 与 b 不共线 1 若ABab，BC2a8b，CD3ab求证A、B、D 三点共线；2 试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 解析 1ABab，BC2a8b，CD3ab，BDBCCD2a8b3ab2a8b3a3b5ab5AB.AB、BD共线，又因为它们有公共点 B，A、B、D 三点共线2kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kabakb，即 kabakb.kak1b.a、b 是不共线的两个非零向量，kk10，k 10.k1.经检验，k1 均符合题意 1 2 13在ABC 中，AN NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB AC，求实数 m 的值3 11 解析 如题图所示，APABBP，P 为 BN 上一点，则BPkBN，APABkBNABkANAB，1 1 又AN NC，即AN AC，3 4 k 因此AP1kAB AC，4k 2所以 1km，且 ，4 118 3解得 k ，则 m1k .11 11