本科阶段固体物理期末重点计算题

2021-09-26 13:17:17 浏览次数：

第一章晶体结构1.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。解氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个N6和一个C组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的C原子和一个体对角线上的C原子组成的C原 子对。由于NaCI和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为相应的晶胞基矢都为2.六角密集结构可取四个原胞基矢 3,32,33与34 ,如下图。试写出OAlA、A1A3B3B1、A2B2B5A5、AAqAbAAsAj这四个晶面所属晶面族的晶面指数 hklm。1解1 对于OAA3面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为1,1,- ,1。所以，2其晶面指数为1121 0对于AA3B3B1面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为1,1,-，。所以,2其晶面指数为1120 o3 对于A2B2B5A5面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为1,1 ,,。所以,其晶面指数为1100 0对于AA2A3A4AA6面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为，，，1。所以，其晶面指数为0001。3.如将等体积的硬球堆成以下结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为简立方；体心立方空；面心立方丄；六角密集丄；金刚石亘。6 8 6 6 16证明由于晶格常数为a,所以1 构成简立方时，最大球半径为 Rm -，每个原胞中占有一个原子，2构成体心立方时，体对角线等于4倍的最大球半径，即4Rm .3a，每个晶胞中占有两个原子，3 .构成面心立方时，面对角线等于4倍的最大球半径，即4Rm ,2a，每个晶胞占有4个原子，4 .构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其咼那么正好是其原胞基矢 C的长度的一半，由几何知识易知| c 6 Rm。原胞底面3边长为2Rm。每个晶胞占有两个原子，2Vm 24 Km 8 Rm，33原胞的体积为V2Rm 2 sin 60g4 6 Rm 82总35 构成金刚石结构时，1的体对角线长度等于两个最大球半径，即2Rm a ,44每个晶胞包含8个原子，4.金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为10928。证明如下图，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格1。选择体对角线uuivuuuAB和CD，用坐标表示为1,1,1和所以,其夹角的余弦为5.试求面心立方结构110和111晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a解常数为 1,1,1。如下图，面ABCtSP110面，面CDE即为111面。设该面心立方的晶格常数为 a，那么在110面内选取只包含一个原子的面面积为agfa予2，所以其原子数面密度在111面内选取只包含一个原子的面 DHIG其a2 sin3AFGD 其为面积为D所以其原子数面密度为6.假设在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内 包含几个原子，设立方边长为a。解这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另 夕卜，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共 有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为1181325 个827.底心立方立方顶角与上、下底心处有原子、侧心立方立方顶角与四个侧面的中心 处有原子与边心立方立方顶角与十二条棱的中点有原子各属何种布拉维格子 每个原胞包含几个原子解这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为底心立方1 8 181 1侧心立方1 8丄4 38 2边心立方1 8 - 12484第二早1.由实验测得NaCI晶体的密度为2.16g/cm3 ,它的弹性模量为2.14 X1O10N/nf，试求NaCI23 和 35.45晶体的每对离子内聚能 土。马德隆常数M1.7476,Na和Cl的原子量分别为 N解NaCl晶体中和Cl-的最近距离为r0晶胞基矢长为2 ro，一个晶胞中含有四对正负离子对一个原胞一个NaCl分子的体积为23 35.45 1023-2.16 6.02 10NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为由晶体体积弹性模量的公式n 1Me2Bm4 ，36 0 0并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数2,故由上式可得129 42.41 101036 3.14 8.85 102 0.282 10 1921.7476 1.6 107.82由平衡时离子晶体的内聚能公式UcNMe24 r将n7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为1.7476 1.6 10 21 1219 1丿4 3.14 8.85 100.282 107.822.LiF晶体具有NaCI结构，已由实验测得正负离子间的最近距离r0.2021nm1摩尔的内聚能Uc 1012.8kJ/mol,以孤立离子系统的内能为能量的零点。试计算该晶体的体积弹性模量Bm,并与它的实验植6.71 1010N/m2进行比拟。2解由平衡时离子晶体的内聚能公式UcNM乞1 1，其中M1.7844。心 n计算1mol的内聚能时，NNa6.02X 1023，且r0 0.2021，计算得n140r0UC 1NMe214 3.14 8.85 10 19 0.2021 10 9 1012.8 103片6.02 1023 1.748 1.6 10 1926.33LiF晶体具有NaCI结构，将2,n 6.33,r0 0.2021代入上式得晶体的弹性模量为2Bm 汚山2 X 101 0N斶相对误差为72426 1007.96.713.由气体分子的实验测得惰性气体 Xe的伦纳德琼斯势参数0.02eV,0.398nm在低温下Xe元素形成面心立方的晶体，试求Xe晶体的晶格常数a,每个原子的内聚能 丄 及体积弹性N模量Bm假设对Xe晶体施加压力P 6 108N/m2。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下,计算这些晶体的晶格常数a将变为多少并求这时的内聚能uNc将变为多少解原子间的平衡间距为 r0 1.091.09 0.398nm 0.434nm因结构为立方晶体那么晶格常数为2r。20.614 nm每个原子的内聚能为土 8.6N8.6 0.020.172eV体积弹性模量Bm 759375 0.02 0.398 10 1.610193.81x 109 N/m2由体积弹性模量的定义式可知Bm VWTBmVdVV。因为V N r33Bmln -r晶格常数a 、2r 0.583nm/ r1.09内聚能厶 8.6 哑 0.149N2A275AVV*第二早1.一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色 散关系。解设第n个原子的势能函数为其中，m为与第n个原子的相距ma的原子间的恢复力常数，a为晶格常数。贝第n个原子的受力为其中，利用了 m m 。第 n 个原子的运动方程为令其试解为代入运动方程得故，2.聚乙烯链 L CH CH CH CH L 的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描 述，原胞两原子质量均为 M ，但每个原子与左右的力常数分别为1和 2 ，原子链的周期为 a 。证明振动频率为解单键及双键的长分别为bi和b2，而原子n,1与n,2的运动方程分别为令这两个方程的试解为把试解代入运动方程得有非零解的条件为 解得利用bi b2 a，方程的解为晶体中的衍射1.试证明面心立方与体心立方互为正倒格子方法1面心立方aia2a3由正格子和倒格子的转换关系k士、2ka,.2iij1bdlndLTdwasLTqLIuaa w 还InasLTd /V /V /V得waabalIIE Lrdrk在体心立方中2rkrk3ira r rrai2i jkuua r rra22i jkira r rrbai jk由2式可得urbiuira 2uua32 r j a2 r k a2 r2 iakirj5比拟1与5,3与4便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。kuu由此可得面心立方的倒格子基矢b2kLTbakbiuu同理可得体心立方的倒格子基矢a22 ja2 r一ka2 kij方法2由方法一中的1可知正格子与倒格子之间存在如下关系irbi比拟可得面心立方和体心立方互为正倒格子。2.a,b,c为简单正交格子的基矢，试证明晶面族h k 1的晶 面间距为解r r r r r ira ai ,b bj,c ck,abc abc由 Pi9 227知可得再由P22中uurk h和dhkl的关系uukh/dhki可得d hkl2luukh、jh2 k2 c2a242I2 得证。ir uu3.设一二维格子的基矢ai 0.125im,a2 0-250nmai与a2夹角a120,试画出第一与第ir ur二布里渊区。二维倒格子基矢bl，b2与正格子基矢间有如下关系解ur令aiir ra,贝 U a1aiuu r ra2ai 3aj中间矩形为第一布里渊区，阴影局部为第二布里渊区。晶格振动和晶体的热学性质1，求一维单原子链的振动模式密度 g，假设格波的色散可以忽略，其 g具有什么形式，比拟这两者的g 曲线解1 一维单原子链的晶格振动的色散关系为.qasin 2其中,m此函数为偶函数，只考虑q0的情况，下式右边乘2d区间振动模式数目为其中，grad石qa a 2mC0S云-m故色散关系为N为原子个数。2假设格波没有色散，既只有一个e 爱因斯坦模型。而且振动模式密度函g 数满足F面关系其中，I为单链总长a为晶格常数，因此故，g 为函数1g n Eg 2N11fJJ 十/i1Ig2m2 -1/2/1 2色散关系的曲线图如下4.金刚石碳原子量为12的杨氏模量为1012N m2，密度3.5g cm 3。试估算它的德拜温度解德拜温度为D5试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。解在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为6 2NV3Vs，其中1112V7 3 V3 眉纵波的零点振动能为同理，两支横波的零点振动能均为故，总的零点振动能为7.Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm，在100方向可以 看作是一组平行的离子链。离子间距d 0.28nm。

　　NaCl晶体的杨氏模量为5 1010 N m 2，如果全放射的光频率与q 0的光频模频率相等，求对应的光波波长实 验值为61 m 。解在一维双原子链模型中，q 0时，光频模频率为杨氏模量为故，光波波长为金属电子论1.导出一维和二维自由电子气的能态密度解一维情形由电子的Schrd in ger方程L ,2m dE得自由电子波函数解dz 2 dk2nLdknn h2E且有E曲2m由周期性边界条件x L x刁曰得在k ..2mE/h到k dk区间那么dZ LgiEdE，其中giE维情形同上，由电子的Schrdinger方程得自由电子波函数解r1 ik r2.Se，S L且Ekh2k22m2-k；总2m由周期性边界条件.i得kx2nnx ,ky在k .2mE / h到k dk区间那么dZ Sg2EdE其中g2Enh2.He3是费米子，液体Hd在绝对零度附近的密度为0.081 g/cmt计算它的费米能Ef和费 米温度Tf。解He3的数密度其中m是单个He3粒子的质量。可得代入数据，可以算得忌6.8577 X 10一23 J 4.28 X 10一4 eV.那么tf Ef 4.97 K.k5.银是一价金属，在T 295 K时，银的电阻率p 1.61 X1。

　　6Qcm,在T 20 K时，电阻率p 0.038 X 10 8Qcm。求在低温和室温时电子的自由程。银的原子量为107.87，密度为 10.5 g / ent解由1吟可得l呼ne lne又其中Na为阿伏加德罗常数，Ms为Ag的原子量，0为Ag的密度。将上式代入I的表达式，并代入数据可得当 T 295 K 时，I 3.7 X 10_4 m,当 T 20 K 时，I 1.6 m.在计算过程中，已取 VF 106 m.